科研团队
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    学院拥有一支高学历、高职称、科研实力较强和发展后劲足的研究团队。有研究人员60余人,校外特聘专家5人,其中:教授20人,副教授27人,博士生导师17人(不含兼职),教育部新世纪人才2人,国家突出贡献专家2人,重庆市百人计划学者2人,重庆市“322重点人才工程”人才1人,重庆市第二届学术技术带头人4人,重庆大学“百人计划”学者3人,国际期刊编委5人。有国家“千人计划”评审专家、国家“青年千人计划”评审专家、国家“青年拔尖人才支持计划”评审专家、重庆市《百名学术学科领军人才培养计划实施办法》、《工程高端人才培养计划实施办法》意见稿评审专家等。

   

研究团队

 

Ø  泛函分析与非交换几何及其在动力系统中的应用

 

着重于以下四方面的研究:

1.关于算子代数与算子理论这方面研究是在伯格曼空间和哈代空间上算子理论和函数理论研究的延续。目标是把前述研究用调和分析和复分析的方法深入到伯格曼空间和哈代空间上的经典汉克算子、托普利兹算子和乘法算子的表现的研究,探索通过由量子道格拉斯代数、圆盘上的伯格曼空间上的算子、复几何、解析延拓和亚正常算子而产生令人惊讶的新方向。

2.可数顺从群代数作用的均值维数与模的冯·洛伊曼阶

考虑一个可数群G的整系数群环ZG的一个可数左模M。一方面在同调代数中(满足一定条件时)人们定义了M的许多不变量,如同调群﹑上同调群﹑L2-Betti数﹑L2-扰等。在根源上这些不变量来源于代数拓扑。另一方面M的庞特里亚金对偶   是一个可度量的紧交换群,而且G在  上有一个自然的作用,我们称之为代数作用。在拓扑动力系统和遍历论中(满足一定条件时)人们定义了这一作用的许多不变量,如遍历性﹑混合性﹑熵﹑均值维数等。在我们近几年的工作中浮现出的一个观点是,来源于代数拓扑的M的各个不变量与遍历论中G在  上代数作用的各个不变量是对应的。因为这些不变量来源于完全不同的数学领域,这样的对应关系一旦建立,对两个领域的研究都会有推动作用。例如,与Andreas Thom[J. Amer. Math. Soc.]证明了当G是顺从群时,M的L2-扰对应于G在   上代数作用的熵,并用之证明了Lück关于L2-扰的一个猜测。在1998年,Lück定义了M的冯·洛伊曼阶。这一定义要用到算子代数中G的群冯·洛伊曼代数。在2000年,Lindenstrauss和Weiss对可数顺从群的连续作用研究了Gromov引入的均值维数。我们猜测当G是顺从群时,M的冯·洛伊曼阶对应于G在   上代数作用的均值维数。这一猜测如果成立,在冯·洛伊曼阶和均值维数的研究中都会有所应用。

3.可数剩余有限群主代数作用的熵和周期点增长率与Lück的逼近猜测

对一个可数无限群G的群冯·洛伊曼代数中的一个元素f, 在1952年Fuglede和Kadison[Ann. of Math. (2) 55(1952):520-530]定义了f的Fuglede-Kadison行列式值。这一行列式值是L2-扰的定义的基础,并且在代数几何[Deninger, J. Amer. Math. Soc. 10(1997):259-281]和遍历论[Lind, Schmidt, and Ward, Invent. Math. 101(1990):593-629]中都有应用。因为G是无限的,人们希望Fuglede-Kadison行列式值能够通过有限维空间上的行列式值来逼近。这样的逼近在拓扑和遍历论中都有引用。例如,李寒峰与Andreas Thom[J. Amer. Math. Soc.待发表]证明了当G是顺从群时Fuglede-Kadison行列式值可以通过FØlner序列上的行列式值来逼近,并用之建立了熵与L2-扰的关系。现在我们考虑G是剩余有限群, Gn是G的一串趋于单位元的有限指数正规子群,f在G的整系数群环ZG中的情况。 在2002年, Lück猜测f的Fuglede-Kadison行列式值可以用f在G/Gn的整系数群环中的像的Fuglede-Kadison行列式值来逼近。与顺从群的情形相比,剩余有限群的情形要更为复杂困难得多。在1995年,Schmidt用数论中Gelfond的一个深刻结果证明了这一猜测在G是整数群的情形。但是,在2002年Lück给出了一个例子说明即使在整数群的情形,如果f只是在G的复系数群环中,那么这一猜测不成立。我们也可以考虑ZG/ZGf这一ZG的左模所对应的代数作用,称之为G的一个主代数作用。在Lewis Bowen[J. Amer. Math. Soc. 23(2010):217-245]和David Kerr[Invent. Math. 186(2011):501-558]的工作中引入了可数sofic群包括可数剩余有限群作用的熵。我们猜测当f不是ZG中零因子时,f对应的主代数作用的熵等于f的Fuglede-Kadison行列式值的对数。与合作者们解决了这一猜测的顺从群情形,和一般可数剩余有限群的一些特殊f情形。除了熵,在动力系统中人们常考虑的另一个不变量是这个主代数作用的Gn周期点集的连通分支个数的指数增长率。我们猜测这一增长率也等于f的Fuglede-Kadison行列式值的对数。在1995年Schmidt证明了这一猜测在G是整数群的情形。近几年,Lind,Schmidt和Verbitskiy证明了有限整数群直和的一些特殊f的情形,而与合作者们解决了一般可数剩余有限群的一些特殊f情形。

以上三个猜测密切相关。我们将围绕这三个猜测展开研究。鉴于问题的困难程度,我们将先考虑G是有限整数群直和的情形。在这一情形,ZG是整系数的多变量Laurent多项式,因而我们可以使用交换代数和复分析中的诸多工具。

4.非交换几何

2008 年,陈晓漫、R. Tessera、王显金和郁国樑引入“算子范数局部化性质”,证明了具有算子范数局部化性质的剩余有限群构造的膨胀图上的“粗几何 Novikov 猜测”成立。同年,陈晓漫和王显金证明了如果相对双曲群的相应子群具有算子范数局部化性质,则相对相对双曲群本身也具有算子范数局部化性质。郁国樑、R.Tessera  和 E. Guentner 提出了度量空间“有限分解复杂度”概念来研究“稳定 Borel 猜测”。陈晓漫、王勤、王显金证明了算子范数局部化性质在有限分解复杂度下具有不变性。一个自然的问题是:剩余有限离散群与它的盒空间的算子范数局部化与分解复杂度性质如何相互决定?J.Roe 曾刻画了盒空间上的保持性质,证明了一个有限生成的剩余有限群,如果其盒空间可粗嵌入 Hilbert 空间,那么这个群具有“Haagerup 性质”;如果其盒空间具有“性质 A”,那么这个群本身是顺从群。 我们拟研究的问题是:

问题: 设群 G 是有限生成的剩余有限群,如果盒空间具有“有限分解复杂度”或“算子范数局部化性质”,则群 G具有什么性质?

团队主要成员:

舒永录,黄小军,王显金,

 

Ø  偏微分方程及在图像处理中的应用

 

主要工作集中在偏微分方程理论及在生物学趋化现象与图像处理中的应用,包括:

1.研究生物学领域趋化KS方程解的有关性质,如带有logistic源的抛物趋化模型解的大时间渐近行为与爆破;趋化-趋触模型在高维情形解的有界性与大时间行为;带有logistic源和旋转趋化敏感函数的趋化-流体模型解的有界性、渐近行为与爆破。

2.研究流体力学和弹性力学中具有波裂现象的色散波方程(组)解的局部适定性、一致依赖性与连续性、保持性、正则性以及解析性、尖峰孤立波解及其轨道稳定性、全局存在性与爆破模式等。

3.研究物理学、流体力学、生态学和生物学等领域提出的一些具有奇异和退化的非线性发展方程(组)初值和初边值问题解的交界面的扩张速率、完全与非完全爆破、熄灭、Fujita 型临界指数、第二临界指数、生命跨度、一致有界性、大时间渐近行为等问题、几类非线性色散波方程解的局部适定性、整体解的存在唯一性、爆破准则、持久性质以及无限速度传播等问题,以及拟线性抛物-抛物(抛物-椭圆)趋化模型和带有 Logistic源的趋化模型的解的性质的。

4.研究随机无穷维动力系统的遍历性问题,特别是系统在退化噪声驱动下的遍历性问题以及系统的指数混合等问题。粗略讲,遍历性就是时间上的平均收敛于相空间上的平均,这也是统计物理中的一个重要假设。但该假设是需要更深刻的数学理论结果作为支撑的。如何证明这样的假设就是随机无穷维动力系统理论研究中核心问题之一。

5.致力于偏微分方程图像处理(分割、去噪、恢复和修补等)中的应用基础研究,包括数学模型方程的构建、理论分析、离散解法与数值模拟等。图像类型千差万别,针对特定类型的图像(如医学图像,红外图像,遥感图像,文本图像,工业CT/DR图像),设计合适的能量泛函或偏微分方程一直是偏微分方程图像处理的一个重要研究方面。主要研究内容有:

1)图像分割方面,针对一些著名的变分与偏微分方程模型存在的水平集函数(或轮廓)的初始化问题,提出有效的解决方法。不论模型是以泛函极小化形式还是偏微分方程形式描述的,模型求解最终归结为带零Neumann边界条件的偏微分方程初-边值问题。一个必须面临的问题是初始条件的定义(即初始化问题),因为初始条件选择不当可能导致错误的分割结果。针对噪声类型或特点,研究水平集函数的正则化问题。由于噪声等因素对图像分割结果的影响,必须添加对水平集函数(或零水平集)的光滑性约束。在水平集方法的框架下,研究非线性扩散方程直接用于图像分割的问题。非线性扩散方程作为一类重要的偏微分方程,目前已广泛应用于图像去噪。一个自然的问题:可否直接用于图像分割?这是一个很有意义的问题。一方面可扩大扩散方程在图像处理中的应用范围,另一方面为图像分割提供新的方法。理论上讲是可行的:方程中的扩散项用于保持水平集函数在演化过程中的光滑性,外力项可控制水平集函数的运动,当“扩散”过程达到平衡时,零水平集便可将目标从背景中分离出来。

2)图像修复方面,研究带脉冲噪声图像的修复问题,通过构造合适的能量泛函,实现修复遗失的信息,同时抑制脉冲噪声的影响。研究图像规则纹理的方向特性和基于全变分模型插值的图像修复方法,寻找自动确定图像破损区域或目标物体大致形状的数学方法,结合图像几何模型和统计纹理模型,建立基于偏微分方程的图像修复新模型,并研究求解全变分修复模型的快速数值算法,从而将模型推广到运动图像的修复中。

3)在变分框架下,在图像的高阶导数和非局部梯度的非凸稀疏先验下,探讨非凸非光滑高阶变分正则和非凸非光滑非局部变分正则,重点针对其中存在的关键问题,展开深入地分析和研究,以期能够在非凸非光滑正则研究领域得到重大进展。

4)图像分解方面,现有的变分图像分解模型基本上都是固定尺度下的分解,本项目研究变分框架下的多尺度图像分解,理论研究尺度参数与分量尺度之间的关系,证明多尺度分解的收敛性。将多尺度分解应用到多尺度图像恢复重建,纹理的区分与分割等领域。在此基础上,除了考虑纹理尺度大小之外,将更多的纹理信息融入到泛函中进行建模(例如纹理的方向信息、颜色信息和结构信息等),将新模型应用到纹理的区分与纹理分割。对震荡分量中的噪声和纹理分别建模求解,使新模型能够很好地区分图像噪声和纹理。将新模型应用到图像恢复重建中,最大限度的重建纹理信息而剔除噪声。

5)工业CT/DR图像分割的应用研究(联合重庆大学ICT研究中心)。主要研究工业CT/DR图像分割,如何从工业计算机断层成像(ICT)和数字式射线辐射成像(DR)的图像中,自动分割出工业部件的内部缺陷(裂纹、气孔、夹杂等)和内外部结构轮廓,提高射线无损检测和逆向制造的效率,应用于国家航天航空国防事业,并应用于重庆市汽车与机械制造等行业。

团队主要成员:

穆春来,何传江曾理蒲学科,张万雄,廖乃安,

 

Ø  最优化理论与方法及科学计算

 

主要工作集中在最优化方法的理论、计算以及科学计算中的一些重要问题,包括:

1.向量优化理论方面的问题

1)集序理论和集优化。相对基于向量序的向量值/集值优化问题,基于集序的集优化模型研究远未成熟与深入,许多问题留待探讨和系统化。作为一种新兴的极值模型,它也初步展现出在不确定向量优化方面的应用价值,因此迫切需要加强其相关理论和方法研究。

2)不确定向量优化问题。既考虑优化模型的多目标属性又考虑其不确定属性是向量优化发展的必然和最新趋势,有关研究才刚起步。目前处理不确定性的主流手段主要包括随机优化和鲁棒优化。对标量优化模型而言,二者均得到了很好的研究;然而对向量(多目标)优化模型,随机和鲁棒向量优化尚处初级和起步阶段,未形成完备的理论体系,算法设计也很薄弱,实际应用的尝试也有待挖掘和强化。

3)非光滑分析与优化。可微向量优化研究趋于完善,而变分分析的发展为处理非光滑(不可微)向量优化问题提供了有效的分析工具。利用现代变分分析技术和方法研究非光滑的向量优化问题,就变分/非光滑分析和向量优化进行交叉融合是很有生命力的研究课题。其中可研究的内容十分广泛,当然也都有较大的难度。

2.最优化计算方法和应用中的几个问题

1)大规模问题的正则化问题算法研究。大数据背景之下,大量的问题具有维度高、数据量大等特征,由此对于大规模的问题研究显得更加重要和迫切。在这类问题的一般化方法的基础上,针对于不同的实际模型,对于不同的正则化函数,选择合适和算法以便适应问题本身的特点非常重要。此外,这类非凸非光滑问题的算法的收敛性和收敛速度也是重点需要研究的问题。

2)大规模问题的矩阵低秩分解算法研究。针对矩阵完备化和主成分分析等问题而提出的矩阵的低秩分解方法是非常有效的方法。使用SVD分解是常用的方法,但SVD分解在问题规模较大时计算的效率比较低。研究适当的低秩分解模型和算法,研究算法矩阵完备化问题中算法收敛性与RIP条件以及相关条件的联系,算法的并行性,算法的初始点选择方法等。

3.粘弹性流体运动方程的计算

1)连续系统的高效时间逼近算法:研究粘弹性Oldroyd型流体运动方程长时间行为的高阶时间逼近格式,如:Crank-Nicolson外推格式,Runge-Kutta格式等,提高问题的时间收敛速度,证明逼近解的一致稳定性与收敛误差,进行相关的数值验证。同时粘弹性模型是一个多变量耦合的复杂系统,基于上述研究,考虑问题的高阶解耦格式,如罚方法、压力校正方法和gauge-Uzawa方法等,将系统的变量分离开,化为求解一系列小规模系统。证明逼近解的一致稳定性与误差,进行数值模拟。

2)连续系统的高性能空间离散方法: 结合投影技巧和误差校正等,探索改进的粘弹性张量分离方法。减少或消除运用经典粘弹性张量分离方法时需引入的额外自由度,减少计算存储量,加快计算速度。证明新方法在二维和三维情况下的逼近误差,给出相关的算例。基于新的粘弹性张量分离方法,引入中心间断有限元方法等对张量进行逼近,提高空间离散格式的性能。分析逼近解的误差,进行相关的数值模拟。

3)非线性离散系统的强健迭代格式现有粘弹性流体的研究都专注于离散格式的设计,忽略了对离散系统的处理。由于问题是一个非线性系统,对它采用隐式时间格式离散时,产生的是一个非线性离散系统。运用误差校正方法,多网格方法等,探索非线性离散系统的高效迭代算法。考察迭代格式与雷诺数之间的关系,给出二维和三维中由散误差和迭代误差两部分构成的误差估计式,进行相应的数值模拟。

4.非线性Drude模型的计算和应用。电磁场和金属纳米结构中电子流体之间的耦合相互作用可以用非线性Drude模型来近似描述,尽管部分文献给出的数值实验结果与物理实验结果定性相符,但定量上还存在显著的差别,为此我们将进一步改进该模型并研究相应的高效快速算法:

1)非线性Drude模型没有考虑电子气体压力对高次谐波产生带来的影响,也没有考虑纳米颗粒的特征尺度小于10纳米时结构表面附近的电子溢出效应。考虑到对于拥有庞大原子数目的纳米结构,精确量子力学模型的计算很难实现,我们将从微观的角度出发,着重研究纳米结构表面的电子溢出效应和不同物理量之间的自洽关系,寻找微观描述与宏观刻画之间的一个平衡,提出描述金属纳米结构中高次谐波产生的新的更为精确的可计算数学模型并进行高效的算法设计。

2)对于金属纳米结构,除了结构中的自由电子对高次谐波产生会有影响外,结构中的束缚电子对高次谐波产生也会有一定的贡献。为此,对于典型金属纳米结构,我们将进一步改进模型以求更好地刻画自由电子和束缚电子对高次谐波产生的影响,并利用改进的模型模拟高次谐波产生现象,与已有模型的数值结果进行比较,验证改进模型的优势。

3)高次谐波的产生除了依赖于纳米材料的物理特性,还与材料的几何结构(如形状、大小以及不同结构排列之间的空隙等)密切相关。我们将利用前面1)和2)中改进的数学模型研究不同的几何结构对高次谐波产生的影响,为金属超材料的设计提供有效的理论和数值指导依据。

    团队主要成员:

李声杰温罗生,陈纯荣,王开荣,王坤,李茂军,曾芳,

 

Ø  高维数据统计与金融、精算大数据分析

 

1、关于参数与半参数回归模型的变量选择、估计及检验的研究,主要内容有:

1)研究带随机约束的参数回归模型,当不能确定关于样本信息的随机约束条件是否成立时,通过将随机约束的参数回归模型转化为等式约束的参数回归模型,提出基于大样本检验的预检验估计量,重点研究预检验估计量的偏差、均方误差矩阵、加权均方误差和相对效率等性质,并通过计算机编程进行仿真计算。同时,当随机误差向量服从独立同分布的正态分布和t 分布时,分别考虑基于F 检验的预检验两参数估计和预检验主成分估计。进而考虑模型参数基于大样本检验的预检验两参数估计和预检验主成分估计。重点研究各类预检验估计在平方偏差、均方误差和均方误差矩阵准则下优良性,并对各类预检验估计的相对效率进行研究。

2)研究半参数回归模型在带约束推断参数分量的Backfitting 估计、差分岭型估计和差分Liu 估计,重点讨论非参数分量取部分核估计、局部多项式估计以及样条估计时,通过Lagrange 求极值法,导出参数分量在等式约束或随机约束的相应估计,通过Roozbeh et al.以及Cleveland和Devlin提出的部分核方法和局部多项式方法建立参数分量的基于大样本检验的预检验估计,并考察其大样本下的统计性质。

3)研究具有纵向数据、删失数据和单指标等复杂数据的半参数回归模型,构造合适的广义经验似然比检验统计量,并研究经验似然统计量的渐近分布及置信区域。同时,研究各类参数与半参数回归模型有偏估计中有偏参数以及LASSO类变量选择中光滑参数的合理选择,讨论惩罚项的各种具体形式,并利用LARS方法,以及应用交叉验证(CV),广义交叉检验(GCV)以及中位数交叉核实(M-GCV)等方法进行参数选择,利用极限理论和大样本理论等相关理论来讨论估计在大样本下的相合性、渐近正态性和收敛速度等统计性质,进而对变量进行选择并讨论变量适应性问题。

2.关于高维复杂数据统计与金融大数据分析方法的研究,主要内容有:

1)研究各类模型选择方法在模型选择过程中的选择精度问题与针对参数的条件过强的问题,通过研究这一类方法解的特点和模型选择的特点,合理化相关条件,提升收敛精度,从理论上扩大LASSO等模型选择方法的适用范围,并结合Edgeworth展式等方法论证这一类方法的精确估计误差;研究现有罚项正则化方法存在的某些数据环境不适应的问题,提出改进方法,弥补原有方法的不足。例如数据维度大小对模型选择方法的约束、特定数据在非负约束等条件下不适用、以及罚项正则化方法在估计上存在有偏等问题,并研究各类惩罚函数中光滑参数的有效选取;研究新改进方法的对应算法问题,通过参考现有LARS、Glmnet、Multiplicativ Updates等相关算法,提出对应新方法的算法,并研究实现算法的计算复杂性、收敛性和稳定性,使新方法在理论和实际中都能满足需要,成为可以普遍使用的模型选择方法。

2)研究现有检验需要重抽样、数据分割,或统计量结构复杂,需要较多约束条件才能得到渐近性质的问题,同时解决目前很多模型选择方法并未从检验的角度考虑方法的适用性和稳定性问题。构造简洁的检验统计量,减少在获得渐近性质上对条件的要求,并与现有统计量的检验效果进行对比;研究基于具有复杂数据结构(比如纵向数据、缺失数据、删失数据等)的模型选择问题,同时研究估计参数的相合性以及渐近正态性等统计性质。

3)研究模型选择方法在金融大数据分析中的应用,对股票市场数据进行实证分析,提出适应实际规则的股票选取方法或改良措施,重点研究对应方法的数值算法,结合国情与实际市场数据讨论模型选择方法在指数跟踪策略配置中的应用,讨论不同的模型选择方法下股票与指数的选择效果,并与来自基金公司的数据进行对比。

3.关于风...


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